Γ函數，又稱伽馬函數，是一個推廣階乘函數到復平面的函數。它的定義如下：

Γ(z) = ∫ ₀ t ^z-1 e ^-t dt

對于正整數n，Γ(n) = (n-1)!

Γ函數滿足以下乘積公式：

Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(πz)

這個公式可以用來求解許多積分，例如：

∫ ₀ t ^α-1 (1+t) ^β-1 dt = B(α, β)/Γ(α)Γ(β)

其中B(α, β)是貝塔函數。

證明

我們可以使用Γ函數的積分定義來證明乘積公式：

Γ(z)Γ(1-z) = ∫ ₀ e ^-t t ^z-1 dt ∫ ₀ e ^-u u ^-z du

令t = u，我們得到：

Γ(z)Γ(1-z) = ∫ ₀ e ^-t t ^z-1 t ^-z dt

這進一步簡化為：

Γ(z)Γ(1-z) = ∫ ₀ e ^-t dt

結果等于1，因此我們有：

Γ(z)Γ(1-z) = 1

再除以sin(πz)，我們得到：

Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(πz)

這就是我們要證明的公式。

應用

Γ函數的乘積公式在數學和物理中有著廣泛的應用，包括：

• 求解積分
• 研究復分析
• 概率論和統計學
• 量子力學

這是一個非常有用的公式，它可以幫助我們解決許多復雜的問題。

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相關標簽： Γ、 πz、 1、 Γ、 sin、 z、 z、 π、 1、 z、 z、 Γ、 =、 Γ、

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